MATEMATIK
Fagets metoder og begreber
Matematik kan overordnet have tre roller: I, MED og OM matematik.
I matematik (Internt i faget – ren matematik)
Opbygningen består af følgende fire hovedtyper:
- Aksiomer – Grundlæggende sandheder i et formelt system (kan ikke bevises)
- Definitioner – Vedtagelser (vi indfører navne, begreber, egenskaber, …)
- Sætninger – Matematiske sandheder der kan deduceres ud fra aksiomer, definitioner og logiske skridt
- Beviser – Deduktioner og logiske skridt, der argumenterer for sætninger
Denne opbygning kaldes nogle gange DSB-matematik (Definition, Sætning, Bevis).
EX 1 – Euklidisk geometri (Euklid havde 5 aksiomer – et af de mest berømte eksempler på en aksiom-samling)
Euklids 1. aksiom er at to adskilte punkter kan forbindes med netop én linje.
En definition kunne være hvad vi forstår ved ordet “afstand”.
En sætning og et bevis kunne være formlen for afstanden mellem to punkter og den tilhørende argumentation.
EX 2 – Naturlige tal
Et andet aksiom er at ethvert naturligt tal har en efterfølger
(husk, at de naturlige tal er tal fra mængden ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, … } ).
Med matematik (Matematik som værktøj i andre fag – anvendt matematik)
Den rene matematik fungerer som en værktøjskasse for den anvendte matematik.
Tankegangen for den såkaldte matematiske modellering er skitseret i figuren.
(kilde: Jensen, K. B. S. (2012). Anvendelse og modellering i matematik – et teoretisk blik. LMFK-Bladet, 2012(2), 2730. http://lmfk.dk/artikler/data/artikler/1202/1202_27.pdf)
Man tager udgangspunkt i et reelt problem som “oversættes” til matematik. Man siger, at man matematiserer problemet.
Ovre i den rene matematik arbejdes med problemet ud fra emnet og hvilke resultater man har til rådighed for at finde en matematisk løsning.
Til slut “oversætter” man tilbage, ved at fortolke det matematiske resultat i den virkelige kontekst.
EX – Den skrå længde på en gavl
Vi oversætter problemet til en trigonometrisk opgave. Hvis vi kender højden & bredden kan vi anvende Pythagoras sætning, hvilket giver 2 matematiske løsninger (positiv & negativ værdi). Ved fortolkningen kan den negative værdi frasorteres idet en negativ sidelængde ikke giver mening i konteksten for taget.
Modeller kan være geometriske eller algebraiske (formler & forskrifter) eller regressionsmodeller eller andet. Vi fokuserer her på regressionsmodeller.
Når man laver modeller med regressionsanalyser er det vigtigt at være opmærksom på flere ting, blandt andet:
- Hvor god er modellen?
- Hvad er konteksten? (hvor giver modellen mening?)
Regressionsmodellen i sig selv er ikke så interessant, men fortolkninger & forudsigelser vha. modellen er hvad der gør den interessant!
Hvor gode forudsigelser en model kan give afhænger af hvor godt regressionslinjen passer med data. Hertil kommer to begreber i spil, nemlig interpolation & ekstrapolation som er forudsigelser henholdsvis inden for datapunkterne og udenfor datapunkterne.
Som udgangspunkt er interpolationer pålidelige for en god model, men ekstrapolationer er meget sårbare overfor modellens gyldighed & kontekst!
I forbindelse med større opgaver er det meget vigtigt, at man forholder sig til hvor gode ens regressionsmodeller er!
Om matematik (At studere matematikken selv som en genstand – meta-matematik)
Matematikken opfattes som en genstand der undersøges med metoder fra et andet fag.
Eksempler
- Historisk matematik – Matematikken undersøges som historisk objekt vha. historiefagets metoder
Kan være hvordan matematik har ændret sig gennem tiden fra fx egyptisk matematik til moderne notation
- Formidlet matematik – Det undersøges hvordan matematik formidles vha. fx dansk eller psykologifaglige metoder
Kan være en formidlingsopgave med dansk hvor man skriver en populærvidenskabelig artikel
- Matematik som videnskabsfag – Det undersøges hvordan matematik er som videnskabsfag vha. fx filosofi
Kan være undersøgelser om hvordan man frembringer matematisk viden sammenlignet med andre vidensfag
- Matematikkens rolle i fx litteratur, kunst eller arkitektur – Det undersøges især i sprogfag
Kan være i bøger som fx Alice i Eventyrland, kunst som fx det gyldne snit, arkitektur som kædelinjer i Barcelona